Transformation groups in geometry and their applications- zaj. w jęz. angielskim WM-MA-S2-E4-TG
The notion of transformation groups, in particular matrix groups, are essential in many fields of science, engineering and industry. They have a wide range of applications, extending from representation theory and geometric structures, to image processing, computer vision, and robotics.
This course introduces transformation groups in geometry starting with the framework of matrix Lie groups. In this course, we start with real and complex matrix groups and their standard examples, and develop the exponential map, one‑parameter subgroups, and the associated Lie algebras, and then interpret matrix groups as smooth manifolds (Lie groups). We study smooth group actions and use orbit methods to construct and analyze homogeneous spaces (including projective spaces and Grassmannians), with geometric applications and structural results. Time permitting, we continue to compact connected Lie groups via maximal tori and the Weyl group, leading toward the classification viewpoint through root systems and Dynkin diagrams.
The format of the lectures and tutorials will be in a classroom with a blackboard and there will not be any mandatory programming involved.
Dyscyplina naukowa, do której odnoszą się efekty uczenia się
E-Learning
Grupa przedmiotów ogólnouczenianych
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2026/27_L: | W cyklu 2025/26_L: |
Opis nakładu pracy studenta w ECTS
W cyklu 2025/26_L: For the lecture:
class attendance 30 hours,
participation in tests/exams outside of class 3 hours,
consultations 2 hours,
preparation for classes 5 hours,
preparation for tests/exams 10 hours,
All together 50 h, equivalent to 2 ECTS credits
For the laboratory:
class attendance 30 hours,
consultations 5 hours,
preparation for classes 20 hours,
preparation for tests/exams 20 hours,
All together 75 h, equivalent to 3 ECTS credits | W cyklu 2026/27_L: WYKŁAD
uczestnictwo w zajęciach: 30 godz.
udział w egzaminach poza zajęciami: 3 godz.
udział w konsultacjach: 2 godz.
przygotowanie do zajęć: 5 godz.
przygotowanie do weryfikacji: 10 godz.
Łącznie 50 godz.
1,4 ECTS - kontakt bezpośredni z prowadzącym
0,6 ECTS - praca własna
ĆWICZENIA
uczestnictwo w zajęciach: 30 godz.
udział w konsultacjach: 5 godz.
przygotowanie do zajęć: 20 godz.
przygotowanie do weryfikacji: 20 godz.
Łącznie 75 godz.
1,4 ECTS - kontakt bezpośredni z prowadzącym
1,6 ECTS - praca własna |
Poziom przedmiotu
Symbol/Symbole kierunkowe efektów uczenia się
Typ przedmiotu
Wymagania wstępne
Efekty uczenia się
WYKŁAD
Student:
W1 - zna i rozumie podstawowe i zaawansowane pojęcia oraz twierdzenia dotyczące macierzowych grup Liego i algebr Liego, w szczególności standardowe przykłady, odwzorowanie wykładnicze, podgrupy jednoparametrowe oraz związki między grupami Liego i ich algebrami Liego (MA2_W04, MA2_W05).
W2 - zna i rozumie związki teorii grup transformacji z algebrą, geometrią i topologią, w szczególności geometryczne znaczenie działań grup, orbit, stabilizatorów i przestrzeni jednorodnych (MA2_W07).
ĆWICZENIA
Student:
U1 - potrafi stosować metody algebraiczne i liniowo-algebraiczne do obliczeń związanych z macierzowymi grupami Liego i algebrami Liego, w szczególności do analizy podgrup, algebr Liego, odwzorowania wykładniczego oraz standardowych przykładów (MA2_U10).
U2 - potrafi rozpoznawać i wykorzystywać struktury geometryczne i topologiczne związane z działaniami grup, w szczególności orbity, stabilizatory i przestrzenie jednorodne, w konkretnych przykładach (MA2_U08, MA2_U13).
U3 - potrafi stosować metody teorii grup Liego i grup transformacji do rozwiązywania problemów z geometrii i algebry oraz poprawnie przedstawiać otrzymane rozumowania matematyczne (MA2_U13).
U4 - potrafi przeprowadzać dowody wybranych twierdzeń dotyczących grup Liego, algebr Liego i działań grup, wykorzystując w razie potrzeby narzędzia algebry liniowej, algebry, geometrii i topologii (MA2_U14).
Kryteria oceniania
Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:
ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć),
ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny,
ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny,
ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu – z wyraźną przewagą pozytywów – i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny,
ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny,
ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: